涉及量子涨落和三体损失的 3D 偶极玻色-爱因斯坦凝聚体的基态

我们考虑涉及量子涨落和三体损失的三维偶极玻色-爱因斯坦凝聚体的基态，其可等价地描述为 Gross-Pitaevskii 能量泛函的带正 $L^2$ 约束的临界点 $$E(u)\!=\!\frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^3}} {|\nabla u|}^2dx+\frac{\lambda_{1}}{2}\int_{{\mathbb{R}^3}} {| u|}^4dx+\frac{\lambda_{2}}{2} \int_{\mathbb{R}^{3}}\left(K \star|u|^{2}\right)|u|^{2} d x+\frac{2\lambda_{3}}{p}\int_{{\mathbb{R}^3}} {|u|}^{p}dx,$$ 其中 $2<p<\frac{10}{3}$，$\lambda_{3}<0$，$\star$ 为卷积，$K(x) \!=\! \frac{{1-3{{\cos }^2}\theta(x) }}{{{{| x |}^3}}}$，$\theta(x)$ 为由 $(0,0,1)$ 确定的偶极轴与向量 $x$ 之间的夹角。若 ${\lambda _1} \!\!<\!\! \frac{4\pi} {3} {\lambda _2}\!\leq\! 0$ 或 ${\lambda _1} \!\!<\!- \frac{8\pi}{3} {\lambda _2}\!\leq\! 0$，则 $E(u)$ 在 $L^2$-球面 $S_{c}\!:=\!\Big\{ u \!\in\! H^1({\mathbb{R}^3}): \int_{{\mathbb{R}^3}} {{|u|}^2}dx\!=\!c^2 \Big\}$ 上无界，因此我们转而研究局部极小问题 $$m(c,R_0)\!:=\!\inf _{u \in V^c_{R_0}} E(u)$$ 对合适的 $R_0\!>\!0$，其中 $V^c_{R_0} \!:=\!\left\{u \!\in\! S_c : \big(\int_{{\mathbb{R}^3}} {{|\nabla u|}^2dx}\big)^{\frac{1}{2}} \!<\!R_0\right\}$。我们证明 $m(c,R_0)$ 被某个 $u_c>0$ 达到，其为一个稳定基态。进一步，通过改进 $m(c, R_0)$ 的上界，我们给出了当质量 $c$ 趋于零时 $u_c$ 渐近行为的精确描述，即 $${[\frac{{p|{\lambda _3}|}}{{2{\gamma _c}}}]^{\frac{1}{{p - 2}}}}{u_c}(\frac{{x + {y_c}}}{{\sqrt {2{\delta _p}{\gamma _c}} }}) \to {W_p}\;\;\;\;{\rm{in}}\;\;\;\;{H^1}({\mathbb{R}^3})\;\;\;\;{\rm{for some}}\;\;\;\;{y_c} \in {\mathbb{R}^3}\;\;\;\;{\rm{as}}\;\;\;\;c \to {0^ + }.$$