关于生成代数中 $x$ 与 $\mathrm{I}$ 的正规化序化及贝塞尔数的组合推广

我们研究由算子 $x$ 与 $\mathrm{I} = \int_0^x$ 生成的代数，它们满足交换关系 $$[\mathrm{I},x] = \mathrm{I}x - x\mathrm{I} = - \mathrm{I}^2.$$ 我们构建了该代数中单词正规化序化的组合框架，证明任何单词均可写为 $$w = \sum_{i,j} c(i,j) \, x^i \mathrm{I}^j,$$ 其中系数 $c(i,j)$ 为有符号整数。聚焦于算子 $(x\mathrm{I})^n$ 的幂，我们展示其对应的系数与经典贝塞尔数（OEIS A001498）一致。进一步将分析推广至广义算子 $(x^\lambda \mathrm{I}^\delta)^n$ 的幂，最后给出任意单词的显式正规化表达式。