有限域中的非标准线性递归序列子群与循环码的自同构

设 $q=p^r$ 为素数幂，$f(x)=x^m-\gs_{m-1}x^{m-1}- \dots -\gs_1x-\gs_0$ 为大小为 $q$ 的有限域 $\GF(q)$ 上的不可约多项式。如果特征多项式为 $f$ 的递推关系 $u_m=\gs_{m-1}u_{m-1} + \dots + \gs_1u_1+\gs_0u_0$ 能以非平凡方式生成 $\xi$ 的幂（即 $u_0=1$ 且 $f(u_1)\neq 0$），则 $f$ 的零根 $\xi$ 被称为在 $\GF(q)$ 上是{\em 非标准的（$m$ 度）}。2003 年，Brison 和 Nogueira 要求对 $m=2$ 情况下的所有非标准情形进行刻画，并解决了 $q$ 为素数以及后来 $q=p^r$ 且 $r\leq4$ 的问题。在本文中，我们首先表明，分类非标准有限域元素等价于分类那些由单个零根生成且具有额外置换自同构的 $\GF(q)$ 上的循环码。除了与 Golay 码相关的 $\GF(2)$ 上 11 度和 $\GF(3)$ 上 5 度的两个零星示例外，还存在两类非标准有限域元素示例。其中一类（I 型）涉及形式为 $f(x)=x^m-f_0$ 的不可约多项式 $f$，其性质已为人所熟知。另一类（II 型）可以通过我们称为扩展和提升的过程从某个子域的本原元获得。我们将利用 $\PGL(2,q)$ 子群的已知分类，结合 Brison 和 Nogueira 的最新结果，证明 $\GF(q)$ 上的二度非标准元素必然是 I 型或 II 型，从而完全解决了 $m=2$ 情形的分类问题。