年龄相关分支过程分裂率的非参数估计

我们研究超临界 Bellman-Harris 种群的分裂率 $B(x)$ 的非参数估计：一个年龄为 $x$ 的粒子具有由 $B(x)$ 决定的随机寿命；在其死亡时刻，它产生 $k \geq 2$ 个后代，其寿命由相同的分裂率决定，依此类推。我们在连续时间上观察 $[0,T]$ 内的过程。渐近分析取 $T \rightarrow \infty$；数据是随机相依的，并且必须同时面对删失、偏差选择以及观测数量的非辅助性。在此设定下，在适当的遍历性条件下，我们构造了一个基于核的 $B(x)$ 估计量，其收敛速度为 $\exp(-\lambda_B \frac{\beta}{2\beta+1}T)$，其中 $\lambda_B$ 是 Malthus 参数，$\beta >0$ 是函数 $B(x)$ 在 $x$ 邻域内的光滑度。我们证明该速度在极小极大意义下是最优的，并将其明确地与经典非参数模型（如在适当（参数依赖）尺度上观测的密度估计）联系起来。我们还阐明了一个事实，即仅基于时刻 $T$ 存活数据的核估计不足以获得最优收敛速度，这一现象是非参数估计特有的，并且已在其他相关的生长-碎裂模型中被观察到。