低秩矩阵值函数的非参数估计

设 $A:[0,1]\rightarrow\mathbb{H}_m$（Hermitian 矩阵空间）为一个低秩矩阵值函数，其元素属于 Hölder 类 $\Sigma(\beta,L)$。本文的目标是基于回归模型 $\mathbb{E}(Y_j|\tau_j,X_j) = \langle A(\tau_j), X_j \rangle$ 研究 $A$ 的统计估计，其中 $\tau_j$ 为 $[0,1]$ 中独立同分布均匀随机变量，$X_j$ 为独立同分布的矩阵补全采样矩阵，$Y_j$ 为独立有界响应。我们提出一种创新的核范数惩罚局部多项式估计量，并建立其由 Frobenius 范数度量的点态风险上界。随后我们将该估计量全局推广，证明其由 $L_2$-范数度量的积分风险上界。我们还提出另一种基于偏差削减核的新的估计量，用于研究 $A$ 未必低秩的情形，并建立其由 $L_{\infty}$-范数度量的风险上界。我们表明所获速率在极小极大意义下除某对数因子外均为最优。最后，我们提出一种基于 Lepskii 方法与数据分割模型选择的自适应估计过程，其计算高效且易于实现与并行化。