变阶$s(\cdot,\cdot)$的非局部双相Neumann和Robin问题

本文发展了分数阶Musielak-Sobolev空间中变阶$s(\cdot,\cdot)$非局部算子的$a_{x,y}(\cdot)$-Neumann导数的一些性质。因此我们证明了相应函数空间的基本性质。在本文的第二部分，利用Ekeland变分原理和直接变分方法，我们证明了以下变阶$s(\cdot,\cdot)$双相Neumann和Robin问题弱解的存在性：\left\{\begin{array} (-\Delta)^{s_1(x,\cdot)}_{a^1_{(x,\cdot)}} u+(-\Delta)^{s_2(x,\cdot)}_{a^2_{(x,\cdot)}} u +\widehat{a}^1_x(|u|)u+\widehat{a}^2_x(|u|)u &= \lambda f(x,u) \quad {\rm in\ } \Omega, \\ \mathcal{N}^{s_1(x,\cdot)}_{a^1(x,\cdot)}u+\mathcal{N}^{s_2(x,\cdot)}_{a^2(x,\cdot)}u+\beta(x)\left( \widehat{a}^1_x(|u|)u+\widehat{a}^2_x(|u|)u \right) &= 0 \quad {\rm in\ } \mathbb{R}^N\setminus \Omega, \end{array} \right. 其中$(-\Delta)^{s_i(x,\cdot)}_{a^i_{(x,\cdot)}}$和$\mathcal{N}^{s_i(x,\cdot)}_{a^i(x,\cdot)}$分别表示变阶$s_i(\cdot,\cdot)$分数阶Laplace算子和$s_i(\cdot,\cdot)$阶非局部法向$a_i(\cdot,\cdot)$-导数。