非线性带限信号

本文研究一类具有紧支撑反射系数的信号的反散射问题。该问题归结为求解核为带限的Gelfand-Levitan-Marchenko（GLM）积分方程。通过对Bernstein空间中相关的Hankel算子采用采样理论方法，在各种对非线性脉冲响应（NIR）的限制下获得了GLM方程解存在的构造性证明。本文发展的形式体系也适于数值计算，所得算法具有代数收敛速率。特别地，使用Whittaker-Kotelnikov-Shannon采样级数得到的算法以$\mathscr{O}\left(N^{-1/2}\right)$收敛，而使用Helms和Thomas（HT）版采样展开式得到的算法在正则性条件满足时对任意$m>0$以$\mathscr{O}\left(N^{-m-1/2}\right)$收敛。算法复杂度取决于所用线性求解器。使用共轭梯度（CG）法得到每信号样本复杂度为$\mathscr{O}\left(N_{\text{iter.}}N^2\right)$的算法，其中$N$为所用采样基函数个数，$N_{\text{iter.}}$为所涉CG迭代次数。HT版采样展开式通过利用矩阵的特异结构及（近似）稀疏性，有助于发展每信号样本复杂度为$\mathscr{O}\left(N_{\text{iter.}}N\log N\right)$的算法。