利用单量子比特门的纠缠四元数幂实现量子比特态的非线性叠加

本文提出一种利用单位四元数代数来表达单量子比特门的任意根或分数幂，并将此类分数幂作为代数生成元以组合这些分数输入信号、表现为一种非线性叠加的新方法。该方法通过串联若干众所周知的等价关系实现。所有单量子比特门的群为 $U(2)$，即 $C^2$ 的酉变换群。借助适当的相位乘子，可将 $U(2)$ 中每个元素映射到行列式为 1 的对应 $SU(2)$ 元素，其量子力学行为相同。$SU(2)$ 群同构于单位四元数群。通过选取优选的平方根 -1，将复数根的去莫弗定理推广至四元数，可构造单位四元数的幂与根。利用这一等价链，对任意单量子比特门 $A$ 与实数指数 $k$，可预期地构造出门 $B$ 使得 $B^k = A$。以这种方式生成的不同分数可通过将各自旋转的量子比特用双量子比特 CNOT 门连接到一个公共“和”量子比特来组合。本文探讨了此类代数的若干例子，包括由四元数 $k$（对应 Bloch 球的 $X$ 旋转）、四元数 $\frac{\sqrt{2}}{2}(i + k)$（对应 Hadamard 门）及其混合所生成的代数。本研究的目标之一是开发经典组件的量子版本，例如机器学习与人工智能中使用的分类器集成与激活函数。文中给出了一个文本分类的示例应用，其使用分数旋转门表示分类器权重，并利用 CNOT 门将相应分类器权重汇集于一个主题打分量子比特以对新输入分类。