货币/能量交换模型的非平衡统计力学

能够直接从底层动力学定律导出玻尔兹曼统计而无需诉诸统计力学基本假设的多数体动力学模型十分稀少。有趣的是，在计量物理学和化学课堂中可发现这样一个模型：货币博弈，其中玩家随机交换货币，该过程类似于气体中的弹性分子间碰撞，从而产生每个玩家所持货币的玻尔兹曼分布。尽管该模型提供了一个展示玻尔兹曼统计起源的教学示例，此类演示通常依赖计算机模拟——该模型中指数稳态分布的证明仅于近年才出现。在此，我们使用一种简单的平均场型方法研究这一随机货币/能量交换模型及其扩展，该方法考察其中一名参与者所进行的一维随机游走的性质。我们给出了该模型中玻尔兹曼稳态分布的简单推导。通过修改规则打破博弈的时间反演对称性会导致非玻尔兹曼稳态统计。特别地，引入“不公平”交换规则，即较穷的玩家更可能向较富的玩家给钱而非从该富玩家收钱，会在玩家数量趋于无穷的极限下产生可解析证明的货币帕累托型幂律分布，且有有限比例的玩家处于“基态”（即零货币）。然而，对于有限数量的玩家，该博弈可能产生双峰货币分布和双稳态动力学，其中参与者的财富在贫穷与富裕状态间跳跃。后者对应于玩家几乎累积了博弈中所有可用货币的情形。