Levinger 定理中谱半径的非凹性

设 ${\bf A} \in R^{n \times n}$ 为非负不可约方阵，并令 $r({\bf A})$ 为其谱半径与 Perron-Frobenius 特征值。Levinger 断言且已有多人证明 $r(t):=r((1{-}t) {\bf A} + t {\bf A}^\top)$ 在 $t \in [0,1/2]$ 上递增，在 $t \in [1/2,1]$ 上递减。进一步有述 $r(t)$ 在 $t \in (0,1)$ 上为凹。此处我们通过若干反例表明后一断言一般不成立，但证明其对 ${\bf A} \in R^{2\times 2}$、加权移位矩阵（而非循环加权移位矩阵）、三对角 Toeplitz 矩阵以及 Fiedler 的 3-参数 Toeplitz 矩阵成立，但对一般 Toeplitz 矩阵不成立。对使谱半径在 Levinger 同伦中凹的 $t$ 范围或矩阵类的普遍刻画仍是一个开放问题。