非对易动量与挠率正则化

我们证明在存在挠率张量 $S^k_{\phantom{k}ij}$ 时，四动量的量子对易关系在旋量指标求迹后由 $[p_i,p_j]=2i\hbar S^k_{\phantom{k}ij}p_k$ 给出。在引力与费米子自旋耦合的 Einstein--Cartan 引力理论中，该关系在坐标标架下化简为非对易动量空间的对易关系 $[p_i,p_j]=i\epsilon_{ijk}Up^3 p_k$，其中 $U$ 是约为普朗克质量平方倒数的常数。我们提出该关系将 Feynman 图中的动量空间积分替换为离散动量本征值的求和。我们导出与此求和与收敛积分一致的规则：$$\int\frac{d^4p}{(p^2+\Delta)^s}\rightarrow 4\pi U^{s-2}\sum_{l=1}^\infty \int_0^{\pi/2} d\phi \frac{\sin^4\phi\,n^{s-3}}{[\sin\phi+U\Delta n]^s},$$ 其中 $n=\sqrt{l(l+1)}$ 且 $\Delta$ 不依赖于 $p$。我们表明该规则正则化了圈图中的紫外发散积分。我们将此规则推广到张量积分。我们导出了有限的、规范不变的真空极化张量和有限跑动耦合。包含全部带电费米子的圈后，我们得到电子裸电荷的有限值：$\approx -1.22\,e$。因此，这种挠率正则化可能为消除量子场论中的无穷大并使重整化有限提供真实的物理机制。