Fano 纤维化中的非自由截面

设 $B$ 为光滑射影曲线，$\pi: \mathcal{X} \to B$ 为 $K(B)$ 上几何整 Fano 簇的光滑整模型。几何 Manin 猜想预测了不可约分支 $M \subset \textrm{Sec}(\mathcal{X}/B)$ 的结构，这些分支参数化具有充分大反典则次数的非相对自由截面。在复数域上，我们证明对于任意这样的分支 $M$，其截面均来自态射 $f: \mathcal{Y} \to \mathcal{X}$，使得 $\mathcal{Y}$ 的泛纤维具有 $\geq 1$ 的 Fujita 不变量。此外，我们证明存在一个有界的态射 $f$ 族，它们共同解释了所有此类分支 $M$。这些结果验证了 Batyrev 关于复数域上几何 Manin 猜想启发式猜想的第一部分。我们的结果对整体函数域上的 Manin 猜想有影响：如果我们从数域上的 Fano 纤维化出发并模 $p$ 约化，则通过先令素数趋于无穷、再令高度趋于无穷，可获得所需形式的上界。