第二立方体多项式 $Q_{p,q}(t)$ 的五次因式分解的不存在性

我们考察偶次数为 10 的单项式第二立方体多项式 $Q_{p,q}(t)\in\mathbb{Z}[t]$，其依赖于互为互素的整数 $p\neq q>0$。我们排除了类型 $5+5$ 的划分存在，即将 $Q_{p,q}(t)$ 划分为两个不可约五次多项式的可能性。由于 $Q_{p,q}(t)$ 为偶函数且满足 $Q_{p,q}(0)\neq 0$，任何此类 $5+5$ 划分必然是对称的，即可写作 $Q_{p,q}(t)=R_{p,q}(t)\cdot (-R_{p,q}(-t))$。经过加权归一化化简为以 $r=p/q\in\mathbb{Q}_{>0}$ 为参数的单变量多项式 $Q_r(u)$，系数比较与消元通过结果小显示，$5+5$ 划分迫使在显式定义平面曲线 $F(r,a)=0$ 上存在有理点。经过商参数 $a=r y$ 和 $s=r^2$ 变换，可得仿射曲线 $f(s,y)=0$，其中对每个固定 $s>0$，$f(s,\cdot)$ 的次数为 16。我们计算并因式分解判别式 $\mathrm{Disc}_y(f)$，随后使用 Sturm 根计数认证表明 $f(s,\cdot)$ 对每个有理 $s>0$ 且 $s\neq 1$ 无实根。因此 $f(s,y)=0$ 不含满足 $s>0$, $s\neq 1$ 的有理解，从而在 $p\neq q$ 时 $Q_{p,q}(t)$ 不存在五次 $5+5$ 因式分解。