全电流密度泛函理论中 Hohenberg-Kohn 变分原理的不存在性

对于多电子系统，粒子密度 $\rho(\mathbf{r})$ 和全电流密度 $\mathbf{j}(\mathbf{r})$ 是否足以确定单体势 $V(\mathbf{r})$ 和矢量势 $\mathbf{A}(\mathbf{r})$，仍然是一个未决问题。对于单电子情形，存在一个用全电流密度表述的 Hohenberg-Kohn 定理。在此我们证明，广义 Hohenberg-Kohn 能量泛函 $\mathord{\cal E}_{V_0,\mathbf{A}_0}(\rho,\mathbf{j}) = \langle \psi(\rho,\mathbf{j}),H(V_0,\mathbf{A}_0)\psi(\rho,\mathbf{j})\rangle$ 对于并非固定势 $V_0$ 和 $\mathbf{A}_0$ 基态密度的密度也可以取最小值。此外，对于任意数量的电子，并在假设存在一个用 $\rho$ 和 $\mathbf{j}$ 表述的 Hohenberg-Kohn 定理的前提下，我们证明了全电流密度泛函理论中不存在类似于密度泛函理论中 Hohenberg-Kohn 的变分原理。其原因在于，假设的从密度到矢量势的映射，记为 $(\rho,\mathbf{j})\mapsto \mathbf{A}(\rho,\mathbf{j};\mathbf{r})$，显式地进入了 $\mathord{\cal E}_{V_0,\mathbf{A}_0}(\rho,\mathbf{j})$。