由冲击模型导出的 copula 的不可交换性

当我们为数据选取合适的 copula 时，关键一点是区分最能描述数据的族。就此而言，通过关于数据（非）对称性的信息可获得更好的 copula 选择。可交换性作为一个概率概念（仅次于独立性）自 1930 年代起被研究，copula 自 1950 年代起被研究，即便从应用角度看最重要的一类 copula——即由冲击模型（如 Marshall copula）导出的那些——也自 1960 年代起被研究。然而，copula 不可交换性这一点直到 2006 年才被提出，并自此被深入研究。本文的主要贡献之一是某 copula 族的最大不对称函数。我们对主要的基于冲击的 copula 族，即 Marshall、maxmin 与反射 maxmin（简称 RMM）copula，以及若干其他重要族计算了该函数。我们计算了最重要不对称测度 $\mu_\infty$ 对 Marshall copula 族与 maxmin copula 族的尖锐界，二者均等于 $\frac{4}{27}\ (\approx 0.148)$。应将此界与它们所属 PQD copula 类的界 $3-2\sqrt{2}\ \approx 0.172$ 以及所有 copula 的一般界 $\frac13$ 相比较。进而，我们给出同一不对称测度对 RMM copula 的尖锐界为 $3-2\sqrt{2}$，与其所属的 NQD copula 的同一界 $\sqrt{5}-2\ (\approx 0.236)$ 相比较。我们的主要结果之一还包括：在给定模型中达到最大不对称测度界时冲击的统计解释。对所研究三族的这些解释由示例阐明，应有助于实践者在为其数据选择模型时参考。