带 reservoirs 的对称排他过程的非平衡稳态

考虑在顶点集为 $[N-1]:=\{1,\ldots, N-1\}$ 的连通图上的开放对称排他过程，其中点 $1$ 与 $N-1$ 分别连接至密度为 $\rho_L,\rho_R\in(0,1)$ 的左 reservoir 与右 reservoir。我们证明该系统的非平衡稳态为 $$\mu_{\text{stat}} = \sum_{I\subset \mathcal P([N-1]) }F(I)\bigg(\otimes_{x\in I}\rm{Bernoulli}(\rho_R)\otimes_{y\in [N-1]\setminus I}\rm{Bernoulli}(\rho_L) \bigg).$$ 在上述公式中，$\mathcal P([N-1])$ 表示 $[N-1]$ 的幂集，而数 $F(I)> 0$ 满足 $\sum_{I\subset \mathcal P([N-1]) }F(I)=1$，并由吸收随机对偶过程的吸收概率给出。通过概率论证，我们在图为一维均匀线段时显式计算了因子 $F(I)$。