回归深度中位数的非渐近鲁棒性分析

由 Rousseeuw 与 Hubert（1999）（RH99）的回归深度（RD）导出的极大深度估计量（亦称深度中位数）（$\bs{\beta}^*_{RD}$）是回归中最主流的估计量之一。它具备类似于一元位置对应量的出色鲁棒性。事实上，$\bs{\beta}^*_{RD}$ 在渐近意义下可抵抗高达 $33\%$ 的污染而不崩溃，而传统（最小二乘与最小绝对偏差）估计量仅为 $0\%$（见 Van Aelst 与 Rousseeuw，2000（VAR00））。VAR00 的结果是开创性的，但仅限于回归对称总体（具有严格正密度）以及 $\epsilon$-污染与最大偏差模型。在固定有限样本量的实践中，估计量最主流的鲁棒性度量是有限样本崩溃点（FSBP）（Donoho 与 Huber（1983））。尽管文献中已有诸多尝试，关于 $\bs{\beta}^*_{RD}$ 的 FSBP 仅得到零星的部分结果，而其精确 FSBP 在过去二十余年中一直悬而未决。此外，渐近崩溃值 $1/3$（递增有限样本崩溃值序列的极限）在有限样本实践中是否相关？（或有限样本与极限崩溃值之间的差异为何？）此类讨论尚付阙如。本文解决上述问题，揭示了 $\bs{\beta}^*_{RD}$ 的回归深度与新获得的精确 FSBP 之间的内在联系。它论证了采用 $\bs{\beta}^*_{RD}$ 作为传统估计量鲁棒替代的合理性，并展示了在有限样本实际中使用 FSBP 的必要性与优点。