深度诱导的回归中位数及其唯一性

一维中位数的概念是非参数统计的基础要素。它通过数据深度的概念被推广到多维情形，包括位置与回归。回归深度（RD）和投影回归深度（PRD）是回归中最具前景的两种深度概念。Carrizosa深度 $D_C$ 是回归中的另一种深度概念。深度诱导的回归中位数（最大深度估计量）作为经典最小二乘估计量的稳健替代。回归中位数的唯一性在其性质讨论以及样本回归中位数的渐近性（一致性与极限分布）中是不可或缺的。由RD、PRD和 $D_C$ 诱导的回归中位数是否唯一？回答此问题是本文的主要目标。研究发现，仅由PRD诱导的回归中位数具有所期望的唯一性性质。针对非唯一性的常规补救措施——对所有中位数取平均——可能会产生在RD和 $D_C$ 两种情形下均不再具有最大深度的估计量。这些及其他发现表明，PRD及其诱导的中位数在其主要竞争者中极具优势。