回归深度诱导中位数的大样本性质

回归中的深度概念已在文献中被引入并研究。Rousseeuw 和 Hubert (1999) 提出的回归深度（RD）是最著名的一种，它是 Tukey 位置深度（Tukey (1975)）在回归上的直接推广。与其位置对应物类似，回归中深度概念最显著的优势在于，在多变量设定下直接引入了回归参数的最大（或最深）回归深度估计量（亦称深度诱导中位数）。关于回归深度诱导中位数的经典问题包括：(i) 它是否为一致估计量（或更确切地说，在什么充分条件之下它是一致的）？以及 (ii) 是否存在极限分布？Bai 和 He (1999)（BH99）率先尝试回答这些问题。在对 (i) 设计点、(ii) 给定 $\bs{x}_i$ 时 $y$ 的条件分布以及 (iii) 误差分布施加若干严格条件之下，BH99 证明了深度诱导中位数的强一致性。在另一组条件之下，BH99 证明了该估计量极限分布的存在性。本文在无 BH99 中任何严格条件的情况下建立了深度诱导中位数的强一致性，并通过不同于 BH99 的充分条件与方法证明了该估计量极限分布的存在性。