投影回归深度及其诱导中位数的计算

文献中已经引入并研究了回归中深度的概念。最著名的例子是回归深度（RD），它是位置深度向回归的直接扩展。投影回归深度（PRD）是另一种主流位置深度——投影深度——向回归的扩展。文献已讨论过 RD 的计算问题，但 PRD 的计算问题此前从未被处理过。本文现在解决回归设置下 PRD 及其诱导中位数（最大深度估计量）的计算问题。对于给定的 $\bs{\beta}\in\R^p$，提出了 PRD 的精确算法，其代价为 $O(n^2\log n)$ ($p=2$) 和 $O(N(n, p)(p^{3}+n\log n+np^{1.5}+npN_{Iter}))$ ($p>2$)；以及 PRD 及其诱导中位数的近似算法，代价分别为 $O(N_{\mb{v}}np)$ 和 $O(Rp N_{\bs{\beta}}(p^2+nN_{\mb{v}}N_{Iter}))$。这里 $N(n, p)$ 是基于由样本点诱导的点和 $\bs{\beta}$ 形成的 $(p-1)$ 维超平面总数定义的数；$N_{\mb{v}}$ 是所利用的单位方向 $\mb{v}$ 的总数；$N_{\bs{\beta}}$ 是所采用的候选回归参数 $\bs{\beta}$ 的总数；$N_{Iter}$ 是在优化算法中进行的总迭代次数；$R$ 是总重复次数。此外，作为第二大贡献，引入了三种 PRD 诱导估计量，其计算速度比 PRD 诱导中位数快达30倍，同时保持相似的精度水平。实例与模拟研究表明，与 RD 诱导的最大深度估计量（当前领先的回归中位数）相比，PRD 诱导的深度中位数在鲁棒性和有效性方面更具优势。