舍入到非均匀间隔集合的随机变量的非渐近矩界

我们研究舍入对随机变量矩的影响。具体而言，给定随机变量 $X$ 及其舍入对应量 $\operatorname{rd}(X)$，我们研究非负整数 $k$ 下的 $|\mathbb{E}[X^k] - \mathbb{E}[\operatorname{rd}(X)^{k}]|$。我们考虑舍入函数 $\operatorname{rd} : \mathbb{R}\to\mathbb{F}$ 对应于（i）舍入到某个离散集合 $\mathbb{F}$ 中的最近点，或（ii）以正比于到最近较大或较小点距离的概率随机舍入到该集合中最近较大或较小的点这两种情形。在这两种情形下，我们在对 $X$ 的密度函数作出合理假设的条件下，展示了如何计算常数 $C$，使得当 $|\operatorname{rd}(x) - x| \leq \epsilon \: E(x)$ 时（其中 $E : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ 为某个固定的正分段线性函数）有 $|\mathbb{E}[X^k] - \mathbb{E}[\operatorname{rd}(X)^{k}]| < C\epsilon^2$。本文还给出了绝对矩 $\mathbb{E}[ |X^k-\operatorname{rd}(X)^{k}|]$ 的精细化界。