噪声PDE训练需要更大的PINN

Physics-Informed Neural Networks (PINNs) 正在广泛用于逼近高维偏微分方程（PDE）的解。在实际场景中，数据常常带有噪声，因而关键在于理解在何种条件下预测器仍能实现低经验风险。然而，关于 PINN 在噪声数据下有效工作条件的认识仍有限。我们对用于求解 Hamilton--Jacobi--Bellman (HJB) PDE 的 PINN 进行分析，建立了网络规模需求的下界，使得监督式 PINN 的经验风险能低于噪声监督标签的方差。具体而言，若某预测器的经验风险为 $O(\eta)$，低于监督数据方差 $\sigma^2$，则必然存在 $d_N\log d_N\gtrsim N_s \eta^2$，其中 $N_s$ 为样本数，$d_N$ 为可训练参数数目。在边界标签亦带噪声的全无监督 PINN 场景中也存在类似约束。因此，仅增加噪声监督标签的数量并不能为降低经验风险提供“便宜的午餐”。我们还对 HJB PDE、Poisson PDE 和以 Taylor-Green 解为特征的 Navier-Stokes PDE 进行了实验，结果表明 PINN 确实需要超过一定阈值模型规模才能训练至 $\sigma^2$ 以下的误差。这些结果为理解在噪声数据存在下训练 PINN 的参数需求提供了量化依据。