高维差集与和集基数的新下界

设 $d \geq 4$ 为自然数，$A$ 为 $\mathbb{R}^d$ 的有限非空子集，且 $A$ 不被包含于超平面的一个平移中。在此设定下，我们证明 $$|A-A| \geq \bigg(2d - 2 + \frac{1}{d-1} \bigg) |A| - O_{d}(|A|^{1- \delta}),$$ 对某个仅依赖于 $d$ 的绝对常数 $\delta>0$ 成立。这给出了尖锐的主项，从而将 Ruzsa 与 Stanchescu 的问题解答至 $O_{d}(|A|^{1- \delta})$ 误差项。我们还证明了 $\mathbb{R}^d$ 中受限型差集与非对称和集的新下界。