Q6、Q7、Q8 超立方无 C4 子图的新下界：构造、结构与计算方法
组合数学
2026-05-14 v4
摘要
我们给出 ex(Q_7,C_4)>=304 和 ex(Q_8,C_4)>=680 的新下界，这是 7 位数和 8 位数超立方中无 C4 子图的最大边数。我们给出了对 ex(Q_6,C_4)=132 的现代计算复现。所有下界都由显式构造证明，遍历所有四边形（Q_6 为 240，Q_7 为 672，Q_8 为 1792）得到。对于 Q_7，我们识别出 19866 个具有 304 条边的无 C4 子图，其维数轮廓恰好分为 20 类。所有 19866 个解都共享一个刚性结构核心：度序列 {4^32,5^96}、谱半径 lambda_1 约为 4.787，且局部极大。两两汉明距离范围从 36 到 260。是否这些解完全覆盖 Q_7 中所有 304 条边的无 C4 子图仍是开放问题。对于 Q_8，我们分析 680 条边构造的局部结构：每个非边至少创建一个 C4，且在 681 条边处进行了 1076 次独立搜索未实现零违规。这些观察构成了关于 conjectures ex(Q_8,C_4)=680 计算证据，但非证明。该构造通过基于 Aut(Q_n) 的多样化的两相模拟退火算法找到。对于 Q_6，我们提供了一个基于整数线性规划（ILP）的证明，表明 ex(Q_6,C_4)<=132。边表、ILP 文件和源代码均公开于 https://github.com/minamominamoto/c4free-hypercube。
引用
@article{arxiv.2603.29127,
title = {New Lower Bounds for C4-Free Subgraphs of the Hypercubes Q6, Q7, and Q8: Constructions, Structure, and Computational Method},
author = {Minamo Minamoto},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.29127},
year = {2026}
}
备注
8 pages, 3 tables. Supplementary data and code at https://github.com/minamominamoto/c4free-hypercube