来自张量积的新余同调扩张子意味着具有 $\Omega(\sqrt{n}\log^kn)$ 距离的显式量子 LDPC 码
摘要
在这项工作中，我们引入了高维中一种比被广泛研究的余同调扩张（cosystolic expansion）概念更强的新扩张概念，称为{\em 集体余同调扩张（Collective-cosystolic expansion）}。我们证明了将两个余同调扩张子作张量积可得到一个新的余同调扩张子，前提是乘积中的一个复形不仅是余同调扩张子，而且是集体余同调扩张子。接着我们证明了著名的有界度余同调扩张子——Ramanujan 复形——事实上正是集体余同调扩张子。这使我们能够通过 Ramanujan 复形的张量积构造新的有界度余同调扩张子。利用我们新构造的有界度余同调扩张子，我们构造了距离为 （对任意 ）的{\em 显式}量子 LDPC 码，改进了 Evra 等人 \cite{EKZ} 近期的结果，并创下了显式量子 LDPC 码距离的新纪录。\cite{EKZ} 的工作利用了称为余同调扩张的高维扩张概念，该概念出现在 Ramanujan 复形中。我们的改进通过考虑 Ramanujan 复形的张量积，并利用其新导出的性质——集体余同调扩张——而实现。
引用
@article{arxiv.2008.09495,
title = {New Cosystolic Expanders from Tensors Imply Explicit Quantum LDPC Codes with $\Omega(\sqrt{n}\log^kn)$ Distance},
author = {Tali Kaufman and Ran J. Tessler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2008.09495},
year = {2020}
}
备注
Added many new results: In the first version it was proven that the product of two cosystolic expanders has linear cosystoles. In this version it is proven that if one of them has an additional property, then their product is itself a cosystolic expander. It is also proven that many well known cosystolic expanders have this additional property