Ramsey 数 $r(I_m, L_n)$ 的新界

我们研究 Ramsey 数 $r(I_m, L_n)$，即最小的自然数 $k$，使得每个具有 $k$ 个顶点的有向图要么包含一个大小为 $m$ 的独立集，要么包含一个具有 $n$ 个顶点的传递竞赛图。除了有限组合学的兴趣外，这些 Ramsey 数也引起集合论学者的兴趣，因为已知 $r(\omega m, n) = \omega r(I_m, L_n)$，其中 $\omega$ 是最小的超限序数，且对所有初始序数 $\kappa$ 有 $r(\kappa m, n) = \kappa r(I_m, L_n)$。延续 Bermond 于 1974 年证明 $r(I_3, L_3) = 9$ 的研究，我们证明了 $r(I_4, L_3) = 15$ 和 $r(I_5, L_3) = 23$。上述两个估计的上界是通过将 Larson 和 Mitchell（1997）对 $r(I_m, L_3)$ 给出的上界 $m^2$ 改进为 $m^2 - m + 3$ 而获得的。此外，我们对所有 $n \geq 3$ 提供了 $r(I_m, L_n)$ 的渐近上界。特别地，我们证明 $r(I_m, L_3) \in \Theta(m^2 / \log m)$。