通过极化神经理想的同调不变量研究神经密码

对于神经密码 $\mathcal{C}\subseteq\mathbb{F}_2^n$，极化神经理想 $J_{\mathcal{C}}$ 的标准形式生成器可得平凡单项式理想 $\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}})\subset k[x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n]$，称为极化神经理想，以及关联的单纯复形 $\Delta_{\mathcal{C}}$，称为极化复形。我们通过 $\Delta_{\mathcal{C}}$ 的拓扑研究其graded不变量 $\operatorname{pd}(\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}}))$ 和 $\operatorname{reg}(\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}}))$，表明哈姆雀立方 $\mathbb{F}_2^n$（以哈姆雀距离计）的简单几何特征组织其极端行为。我们证明 \operatorname{reg}(\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}}})\le 2n-1，当且仅当 $\mathcal{C}$ 从 $\mathbb{F}_2^n$ 中删除一个对偶点时等式成立。利用 $\Delta_{\mathcal{C}}$ 的诱导子复形的连通性性质，我们得到 \operatorname{pd}(\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}})}\le 2n-3，并给出一个显式的密码族达到等式，每个密码由对偶点组成。最终端，我们识别最小值的立方几何：$\operatorname{reg}(\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}})=1$ 强制 $\mathcal{C}$ 为 $\mathbb{F}_2^n$ 的坐标子立方，而 \operatorname{pd}(\mathcal{P}(J_{\mathcal{C}})}=0 强制 $\mathcal{C}$ 为其补集。最后，我们构造实现固定 $n$ 下 $(\operatorname{pd},\operatorname{reg})$-图中大区域的族。