具有高阶记忆的极化码

我们引入一组码序列 $\{ {\mathscr C}_{n}^{(m)} : n\geq 1, m \geq 1 \}$ 的设计，其记忆阶数为 $m$，码长为 $N=O(\phi^n)$，其中 $\phi \in (1,2]$ 是多项式方程 $F(m,\rho)=\rho^m-\rho^{m-1}-1$ 的最大实根，且 $\phi$ 随 $m$ 增大而减小。$\{ {\mathscr C}_{n}^{(m)}\}$ 基于信道极化思想，其中 $\{ {\mathscr C}_{n}^{(1)} \}$ 与 Arıkan 提出的极化码一致，并且可以以 $O(N \log N)$ 的复杂度进行编码和译码。对于任意固定的 $m$，$\{ {\mathscr C}_{n}^{(m)} \}$ 能够达到任意二进制输入、离散输出无记忆信道 $W$ 的对称容量 $I(W)$，并且其编码和译码复杂度随 $m$ 增大而降低。我们得到了 $\{ {\mathscr C}_{n}^{(m)} \}$ 的块译码错误概率 $P_e$ 的一个可达界，并证明对于 $\beta < \frac{\phi-1}{1+m(\phi-1)}$，可实现 $P_e = O (2^{-N^\beta} )$。