组合结构的网络表示与模块分解：基于 Galled-Tree 的视角

在 phylogenetics 中，从税物之间的距离重建根树是常见任务。B"ocker 和 Dress 通过引入符号 dated maps $\delta:X \times X \to \Upsilon$，将距离替换为符号，展示了符号 ultrametrics 与标记根状 phylogenetic 树之间存在一一对应关系。许多组合结构都落在符号 dated maps 的下沃谷中，如 2-dissimilarities、对称标记 2-structures 或边彩色完全图，此处称为 strudigrams。strudigrams 唯一分解为非重叠模块，可由模块分解树（MDT）表示。若不存在质数模块，strudigrams 等价于符号 ultrametrics，MDT 完全通过 MDT 中两个顶点 $x,y$ 在 $X$ 中最低公共祖先的标签来捕获 $\delta(x,y)$ 的关系。然而，在存在质数顶点时，这些信息通常被隐藏。为提供这些缺失的结构信息，我们旨在局部替换 MDT 中的质数顶点，以获得捕获 strudigrams 完整信息的网络。虽然从质数顶点替换网络的通用框架出发，但随后我们聚焦于通过将质数顶点替换为所谓 galls 而获得的特定类型网络， resulting in labeled galled-trees。我们引入 galled-tree explainable（GATEX）strudigrams 的概念，提供其特征描述，並 说明识别这些结构并重建解释它们的标记网络可在多项式时间内完成。