作为在 $3d$ 打印材料中引导应力同时最小化柔度的工具的近最优五模材料：对 $3d$ 打印材料弱 $G$-闭包问题的完整求解

对于包含一种具有正 Lame 模量的各向同性弹性材料和空隙的复合材料，弹性材料占据规定体积分数 $f$，且复合材料承受平均应力 ${{ {\sigma}}}^0$，Gibiansky、Cherkaev 和 Allaire 给出了最小柔度能量 $\sigma^0:\epsilon^0$ 的尖锐下界 $W_f({{ {\sigma}}}^0$，其中 ${ {\epsilon}}^0$ 为平均应变。本文我们表明这些界限也给出了此类复合材料中可能共存的 $({{ {\sigma}}}^0,{{ {\epsilon}}}^0)$-对的尖锐界限，从而求解了 $3d$ 打印材料的弱 $G$-闭包问题。我们用于实现极值 $(\sigma^0,\epsilon^0)$-对的材料被称为近最优五模材料。我们还考虑了包含该各向同性弹性材料和刚性相的两相复合材料，弹性材料占据规定体积分数 $f$，且复合材料承受平均应变 $\epsilon^0$。对于此类复合材料，Allaire 和 Kohn 给出了最小弹性能 $\sigma^0:\epsilon^0$ 的尖锐下界 $\widetilde{W}_f({{ {\epsilon}}}^0)$。我们表明这些界限也给出了弹性与刚性相此类复合材料中可能共存的 $({{ {\sigma}}}^0,{{ {\epsilon}}}^0)$-对的尖锐界限，从而在此情形下也求解了弱 $G$-闭包问题。我们用于实现这些极值 $({{ {\sigma}}}^0,{{ {\epsilon}}}^0)$-对的材料被称为近最优单模材料。