可解释 k-中位数与 k-均值的近最优算法

我们考虑由 Dasgupta、Frost、Moshkovitz 和 Rashtchian（ICML 2020）提出的可解释 $k$-中位数与 $k$-均值问题。在该问题中，我们的目标是找到一棵阈值决策树，将数据划分为 $k$ 个簇，并最小化 $k$-中位数或 $k$-均值目标函数。所得聚类易于解释，因为阈值树的每个决策节点都基于单一特征将数据拆分为两组。我们针对该问题提出了一种新算法，其在 $k$-中位数（$\ell_1$ 范数）下具有 $\tilde O(\log k)$ 的竞争比，在 $k$-均值下具有 $\tilde O(k)$ 的竞争比。这相比 Dasgupta 等人（2020）先前 $O(k)$ 和 $O(k^2)$ 的保证有所改进。我们还提供了一种新算法，在 $k$-中位数（$\ell_2$ 范数）下具有 $O(\log^{3/2} k)$ 的竞争比。我们的第一种算法是近最优的：Dasgupta 等人（2020）给出了 $k$-中位数 $\Omega(\log k)$ 的下界；在本工作中，我们证明了 $k$-均值 $\tilde\Omega(k)$ 的下界。我们还给出了 $k$-中位数（$\ell_2$ 范数）$\Omega(\log k)$ 的下界。