聚类可解释性的代价

给定$d$维空间中的点集，可解释聚类是指那些由轴对齐阈值切割的树所指定的聚类。Dasgupta等人（ICML 2020）提出了可解释性代价的问题：最佳可解释聚类的代价与最佳聚类代价的最坏情况比率。我们证明$k$-中位数的可解释性代价至多为$1+H_{k-1}$；事实上，我们证明流行的随机阈值算法恰好具有这一可解释性代价，与已知的下界构造相匹配。我们通过构造实例补充了对该特定算法的紧分析，其中（使用任何算法的）可解释性代价至少为$(1-o(1)) \ln k$，表明我们的结果在上至低阶项意义下是最佳可能的。我们还将$k$-均值问题的可解释性代价从先前的$O(k \ln k)$改进到$O(k \ln \ln k)$，显著缩小了与$\Omega(k)$下界的差距。最后，我们研究了寻找最佳可解释聚类的算法问题：在标准复杂性理论猜想下，我们证明可解释$k$-中位数和$k$-均值无法被近似到优于$O(\ln k)$。这基本解决了可解释$k$-中位数的可近似性，并为$k$-均值留下获得显著优于其可解释性代价的近似算法的有趣可能。