层次聚类的代价

层次聚类是理解数据集遗传性质的一种常用工具。这样的聚类实际上是一系列聚类组成的序列，从每个数据点各自成簇的平凡聚类开始，然后不断合并两个现有簇，直到所有点都在同一簇中。$k$-聚类层次若其层次中每个 $k$-聚类的代价至多是最优 $k$-聚类代价的 $\alpha$ 倍，则称其达到近似因子 $\alpha$。我们研究的代价函数为任意簇的最大（离散）半径（$k$-中心问题）和任意簇的最大直径（$k$-直径问题）。一般而言，最优聚类并不构成层次，因此无法达到 $1$ 的近似因子。我们将任意实例所能达到的最小近似因子称为层次代价。对于 $k$-直径问题，我们将层次代价的的上界改进为 $3+2\sqrt{2}\approx 5.83$。此外，我们显著改进了 $k$-中心和 $k$-直径的下界，分别证明了其层次代价恰为 $4$ 和 $3+2\sqrt{2}$。