$\textbf{Act}-S$上的中山引理

模论中的一个关键引理是中山引理 (Nakayama's lemma) \cite{AF}。在本文中，我们将研究给定含单位元 1 的幺半群$S$上的右 act 范畴中中山引理的几种形式。更确切地说，除其他结果外，我们证明了当$A$是具有唯一零元$\theta$的有限生成拟强忠实$S$-act，且$S$是其唯一极大右理想$\mathfrak{M}$为双侧理想的幺半群时，对于$S$的某个真理想$I$，等式$AI=A$意味着$A=\{\theta\}$。此外，作为中山引理的一个应用，我们证明了$S$-acts 的 Krull 交集定理。最后，作为推论，我们将看到该引理的同调分类形式，即我们证明：如果$S$是交换幺半群，那么每个投射$S$-act 都是自由的，当且仅当$E(S)=\{1\}$，其中$E(S)$是$S$的所有幂等元的集合。