3-连通拟阵中的 $N$-可分离对 III：定理

设 $M$ 为 3-连通拟阵，$N$ 为 $M$ 的 3-连通子式。一对元素 $\{x_1,x_2\} \subseteq E(M)$ 是 $N$-可分离的，如果拟阵 $M/x_1/x_2$ 或 $M \backslash x_1 \backslash x_2$ 中有一个既是 3-连通的又含有 $N$-子式。这是系列论文中的第三篇也是最后一篇，我们在其中证明：若 $|E(M)|-|E(N)| \ge 10$，则在可能执行单次 $\Delta$-$Y$ 或 $Y$-$\Delta$ 交换后，$M$ 要么存在 $N$-可分离对，要么 $M$ 本质上是附带一个 spike 的 $N$。此外，我们描述了当仅要求 $|E(M)|-|E(N)| \ge 5$ 时所出现的附加结构。