Tonks-Girardeau 气体的 $n$ 体关联

由于著名的指数级复杂度，计算一般多体波函数的关联函数是一个巨大挑战。我们研究了 Tonks-Girardeau（TG）气体的基态 $n$ 阶关联函数。基于自由费米子波函数与 Bose-Fermi 映射方法，我们得到了 TG 气体的精确基态波函数。利用 Vandermonde 行列式与 Toeplitz 矩阵的性质，$n$ 阶关联函数被表述为 $(N-n)$ 阶 Toeplitz 行列式，其元素依赖于 2$(N-n)$ 个符号函数的积分并可解析计算。通过将 $[0,2\pi]$ 域上的积分化简为若干独立域上积分之和，我们最终得到了 Toeplitz 矩阵元素的显式形式。作为应用，我们推导了约化两体密度矩阵的简洁公式并讨论其性质。相应的自然轨道及其占据分布被绘出。此外，我们给出了约化三体密度矩阵的简洁公式并讨论其性质。结果表明，在连续第二次测量中，原子出现在第一次测量中以最大概率分布的区域内。