互零矩阵与节点奇点的 Cohen–Lenstra 级数

我们给出了有限域上互为互零的 $n\times n$ 矩阵对 $(A, B)$（即 $AB=BA=0$）个数的生成函数。该生成函数可视为 Cohen 与 Lenstra 所考虑级数的奇点类比。我们证明了该生成函数具有一种 factorization，使其可亚纯延拓至整个复平面。我们还利用它来计数互零的幂零矩阵对。这项工作本质上是对 $\mathbb C[u,v]/(uv)$ 上模簇以及具有节点奇点的代数曲线上凝聚层模栈的 motivic 方面的研究。