量子平面上模簇的计数

设 $\zeta$ 为含 $q$ 个元素的有限域 $\mathbb F_q$ 中一固定非零元。本文通过给出生成函数，计数 $\mathbb F_q$ 上满足 $AB=\zeta BA$ 的 $n\times n$ 矩阵对 $(A,B)$ 的个数。这推广了 Feit 与 Fine 计数交换矩阵对的生成函数。我们的结果也可视为量子平面 $xy=\zeta yx$ 上模簇的点计数，其几何由 Chen 与 Lu 描述。