几何红蓝集合覆盖的多元复杂性分析

我们研究广义红蓝集合覆盖（Gen-RBSC）的参数复杂性，它是经典集合覆盖问题及较近期研究的红蓝集合覆盖问题的推广。给定包含 $b$ 个蓝色元素和 $r$ 个红色元素的全域 $U$，正整数 $k_\ell$ 和 $k_r$，以及 $U$ 上的 $\ell$ 个集合的族 $\F$，\srbsc\ 问题旨在判定是否存在子族 $\F'\subseteq \F$ 大小至多为 $k_\ell$ 且覆盖所有蓝色元素，但至多覆盖 $k_r$ 个红色元素。这推广了集合覆盖，因此在完整一般性下在参数化设定中是不可处理的。本文研究该问题的几何版本，称为 Gen-RBSC-lines，其中元素为平面中的点，集合由直线定义。我们针对一系列参数研究此问题，即 $k_\ell, k_r, r, b$ 和 $\ell$，以及它们所有可能的组合。对于所有这些情况，我们或证明问题是 W-hard，或显示问题是固定参数可处理的（FPT）。特别地，在算法方面，我们的研究表明 $k_\ell$ 和 $k_r$ 的组合产生了针对 Gen-RBSC-lines 的一个非平凡算法。在困难性方面，我们展示当以 $k_r$ 为参数时问题是 para-NP-hard，当以 $k_\ell$ 为参数时是 W[1]-hard。最后，对于 Gen-RBSC-lines 容许 FPT 算法的参数组合，我们询问是否存在多项式核。我们能够提供一个完整的核化二分法，通过证明问题容许多项式核，或者除非 $\CoNP \subseteq \NP/\mbox{poly}$ 否则不包含多项式核。