具有有界测试大小的测试覆盖问题的参数化

在 {\sc Test Cover} 问题中，给定一个超图 $H=(V, \mathcal{E})$，其中 $|V|=n, |\mathcal{E}|=m$，并假设 $\mathcal{E}$ 是一个测试覆盖，即对于每一对顶点 $x_i, x_j$，存在一条边 $e \in \mathcal{E}$ 使得 $|{x_i,x_j}\cap e|=1$。目标是找到 $\mathcal{E}$ 的一个最小子集，使其构成测试覆盖。该问题广泛应用于多个领域的识别任务，且是 NP 完全的。从参数化复杂度的角度来看，{\sc Test Cover} 的许多自然参数化要么是 $W[1]$-完全的，要么除非 $coNP\subseteq NP/poly$ 否则没有多项式核，因此不太可能被高效求解。然而，在实践中边的规模通常是有界的。本文研究了 {\sc Test-$r$-Cover} 的参数化复杂度，这是 {\sc Test Cover} 的一个限制版本，其中每条边最多包含 $r \ge 2$ 个顶点。与无界情况相反，我们证明了以下 {\sc Test-$r$-Cover} 的低于界限参数化是固定参数可处理的，并具有多项式核：(1) 判定是否存在大小为 $n-k$ 的测试覆盖，以及 (2) 判定是否存在大小为 $m-k$ 的测试覆盖，其中 $k$ 为参数。此外，我们证明了当每条边的大小被 $r$ 限制时，测试覆盖最小规模的一个新下界 $\lceil \frac{2(n-1)}{r+1} \rceil$。以此界限为基准进行 Above 参数化的 {\sc Test-$r$-Cover} 不太可能是固定参数可处理的；事实上，我们证明它是 para-NP-完全的，因为判定 {\sc Test-$r$-Cover} 实例是否存在大小恰好为 $\frac{2(n-1)}{r+1}$ 的测试覆盖是 NP 难的。