扰动图拟阵及其对偶中由空间覆盖向量的参数化复杂性
数据结构与算法
2019-02-20 v1 离散数学
摘要
扰动图拟阵是可通过向图拟阵加入小秩噪声而得到的二元拟阵。更确切地说，r 秩扰动图拟阵 M 是可表示为 I + P 形式的二元拟阵，其中 I 是某图的关联矩阵，P 是秩至多为 r 的二元矩阵。此类拟阵自然地出现在若干理论与应用场景中。我们工作的首要动机是试图理解图上各类问题的参数化算法有哪些可提升用于扰动图拟阵。我们研究了对拟阵而言下列图上基本问题的自然推广的 parameterized 复杂性：Steiner Tree 与 Multiway Cut。该推广称为 Space Cover 问题，给定二元拟阵 M 及其基集 E、终端集合 T⊆E 和非负整数 k，任务是判定 T 是否可由 E\T 中大小不超过 k 的子集张成。我们证明，在图拟阵扰动上，对任意固定的 r，Space Cover 关于参数 k 是固定参数可处理的（fixed-parameter tractable）。另一方面，当以 r+k+|T| 为参数时该问题变为 W[1]-难，且对 r≤2 与 |T|≤2 是 NP 完全的。在图拟阵的对偶即余图拟阵上，Space Cover 推广了另一个基本且被充分研究的问题，即 Multiway Cut。我们证明，在扰动图拟阵的对偶上，Space Cover 问题关于参数 r+k 是固定参数可处理的。
引用
@article{arxiv.1902.06957,
title = {Covering Vectors by Spaces in Perturbed Graphic Matroids and Their Duals},
author = {Fedor V. Fomin and Petr A. Golovach and Daniel Lokshtanov and Saket Saurabh and Meirav Zehavi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1902.06957},
year = {2019}
}