多值泛函、一次微分形式与形变 de Rham 复形

我们讨论 Morse-Novikov 理论在现代物理若干问题中一些应用,其中出现非恰当闭 1-形式 $\omega$(一个多值泛函)。我们主要聚焦于紧流形 $M^n$ 的带形变微分 $d_{\omega}=d +\lambda \omega$ 的 de Rham 复形的上同调。利用 Witten 的 Morse 理论方法,可以用充分大 $\lambda$ 值的形变 de Rham 复形的上同调来估计 $\omega$ 的临界点个数(无挠 Novikov 不等式)。我们证明对于一类有趣的 solvable 流形,该上同调可计算为相应李代数 $\mathfrak{g}$ 关于一维表示 $\rho_{\lambda \omega}$ 的上同调。