二项随机图的多集度量维数

对于图 $G = (V,E)$ 和子集 $R \subseteq V$，若对任意两个顶点 $v,w$，多集 $\{d(v,r): r \in R\}$ 和 $\{d(w,r):r \in R\}$ distinct，则称 $R$ 为 $G$ 的 \textit{多集可分离} 集，其中 $d(x,y)$ 为顶点 $x$ 和 $y$ 之间的图距离。$G$ 的 \textit{多集度量维数} 为最小的大小 $R \subseteq V$，使得 $R$ 是多集可分离的（或 $\infty$ 如果不存在此类集合）。这种图参数由 Simanjuntak、Siagian 和 Vitr\'{i}k 于 2017 年提出~\cite{simanjuntak2017multiset}，此后已用于各种图族进行研究。我们证明了对于固定 $x \in (0,1)$ 的情形下，参数 $d = (n-1)p = \Theta(n^{x})$ 时，二项随机图 $G(n,p)$ 的多集度量维数的界在高概率下成立。