Prasad–Takloo-Bighash型对的多重性一

设$E/F$为特征异于$2$的非阿基米德局部域的二次扩张。设$A$为偶维$F$-中心单代数，使其包含$E$作为子域，置$G=A^\times$且$H$为$E^\times$在$G$中的中心化子。利用伽罗瓦下降论证，我们证明所有双陪集$H g H\subset G$在反自同构$g\mapsto g^{-1}$下稳定，从而归约为Guo关于$F$-分裂$G$的结果，并将其推广至特征异于$2$的正特征域。进而我们结合整体与局部结果证明，$G$的$H$-可区分不可约表示是自对偶的，并由此推出$(G,H)$为Gelfand对：对所有$G$的光滑不可约表示$\pi$有$$dim_{\mathbb{C}}(Hom_{H}(\pi,\mathbb{C}))\leq 1$$。最后我们说明如何利用Aizenbud与Gourevitch的判据得到阿基米德情形的多重性一陈述，并进而证明阿基米德情形下不可约可区分表示的自对偶性。