方程$\nabla f = M\nabla g$解的乘法

研究了形式为$\nabla f = M\nabla g$的一阶线性偏微分方程组，其中$M$为常数矩阵，分别在实数域和复数域上的向量空间中进行研究。Cauchy-Riemann 方程属于此类。我们在解空间上引入了一种双线性$*$-乘法，它起到了非线性叠加原理的作用，允许从已知解代数地构造新解。梯度方程$\nabla f = M\nabla g$仅构成一大类偏微分方程组的一个简单特例，这类方程组在解空间上允许双线性乘法，但我们证明了任何梯度方程都具有一个特殊性质：其一般解析解可以通过关于$*$-乘法的某些简单解的幂级数来表示。