多重 Landen 值与三阶斐波那契数

多重 Landen 值（MLV）定义为在区间 $x\in[0,1]$ 上对微分形式 $A=d\log(x)$、$B=-d\log(1-x)$、$F=-d\log(1-\rho^2x)$ 和 $G=-d\log(1-\rho x)$ 的迭代积分，其中 $\rho=(\sqrt{5}-1)/2$ 是黄金分割数。我猜想，权为 $w$ 的 ${\mathbb Z}$-线性无关 MLV 空间的维数是一个三阶斐波那契数 $T_w$，由 $1/(1-x-x^2- x^3)=1+\sum_{w>0}T_w x^w$ 生成，并且由 $\{A,G\}$ 子字母表中所有既不以 $A$ 结尾也不包含 $A^3$ 的词构成一组基。对于 $w<9$，我为 MLV 数据库构建了一组效率高得多的基，其中在 49,151 个 MLV 的有理约化的 3,357,257 个系数中，分母未出现大于 11 的素数。40 个原语的数值数据使得能够快速计算所有这些 MLV 至 20,000 位数字。该数据库提供了 Apéry 型求和 $A_w=\sum_{n>0}(-1)^{n+1}n^{-w}/{2n\choose n}$ 以及 6 个深度为 1 的多重对数 ${\rm Li}_w(\rho^p)=\sum_{n>0}\rho^{pn}n^{-w}$ 的阶梯组合的约化，其中 $p\in\{1,2,3,4,6,8,10,12,20,24\}$，系数由 Landen、Coxeter 和 Lewin 在 $w=2$ 时给出。我证明了前者可求值为 MLV，并猜想后者亦然。本文比较了 MLV 与在粒子物理标准模型的量子场论中遇到的单位根处多重对数的性质。