与广义热统计相关的相空间多重分形谱

我们考虑一个具有特定分形维数 $d$ 的自相似相空间，其分布由谱函数 $f(d)$ 描述。相关的热统计被证明由非广延统计的 Tsallis 形式体系支配，其中非可加性参数等于 ${\bar\tau}(q)\equiv 1/\tau(q)>1$，且多重分形函数 $\tau(q)= qd_q-f(d_q)$ 是由多重分形参数 $q\in [1,\infty)$ 确定的比热。以此方式，证明了能量均分定理成立。对多重分形谱函数 $f(d)$ 的优化导出了统计权重与系统复杂度之间的关系。结果表明，统计权重指数 $\tau(q)$ 可以通过双曲正切函数进行形变建模，以符合 Tsallis 和 Kaniadakis 指数，从而显式地描述任意多重分形相空间。谱函数 $f(d)$ 被证明从 $d=0$ 处的最小值 $f=-1$ 单调增加到 $d=1$ 处的最大值 $f=1$。同时，单分形数量在小维数 $d$ 下随相空间体积的增长而增加，并在 $d\to 1$ 的极限下减少。