具有 Morse 型奇点的光滑叶状结构

设 M 是一个光滑流形，F 是 M 上一个具有孤立 Morse 型奇点的余维一 C^∞ 叶状结构。对 (M, F) 这样的对的研究和分类是一个具有挑战性（且困难）的问题。在此背景下，Reeb 的一个经典结果指出，一个容许具有恰好两个中心型奇点的叶状结构的流形是一个球面。特别是，如果该叶状结构由一个函数给出，则此结论成立。沿着这一思路，Eells 和 Kuiper 的一个结果对具有恰好三个非退化奇点的实值函数的流形进行了分类。在本文中，我们证明了上述结果的推广。为此，我们首先描述了奇点对以及相应的余维一不变集的可能排列，然后我们给出了针对适当的中心-鞍点以及某些鞍点-鞍点构型（具有连续指标）的消去程序。在第二部分，我们研究了其他经典结果，如为正规叶状结构证明的 Haefliger 和 Novikov（紧叶）定理，在存在奇点的情况下是否仍然成立。为此，在叶状结构 F 的奇点集 Sing(F) 中，我们考虑弱稳定分支，我们将其定义为那些存在一个邻域使得其中所有叶都是紧的分支。如果 Sing(F) 仅允许由光滑嵌入的、微分同胚于 S^1 的曲线给出的弱稳定分支，我们能够推广 Haefliger 定理。最后，一条横截于叶状结构的闭合曲线的存在性，引导我们陈述一个 Novikov 型结果。