三重随机多边形的更多顶点

$n \times n$ 双随机矩阵构成 $\mathbb{R}^{n^2}$ 中的一个多边形，其顶点集合恰为 order-$n$ 排列矩阵（由 Birkhoff 定理保证）。三重随机数组是 $n \times n \times n$ 的非负实数数组，其中每行、每列和每个轴的和均为 1。这些数组构成 $\mathbb{R}^{n^3}$ 中的多边形 $\Delta_n$。不难看出，每个 $L_n$ order-$n$ 拉丁方都是 $\Delta_n$ 的一个顶点，但与 Birkhoff 定理不同，拉丁方仅为 $\Delta_n$ 顶点集合中微不足道的子集。我们在此表明，$\Delta_n$ 至少拥有 $L_n^{2-o(1)}$ 个顶点。