随机积分算子定义域的单调性与非单调性

在 $R^d$ 上以时刻 1 的分布为 $\mu$ 的 L\'evy 过程记为 $X^{(\mu)}=\{X_t^{(\mu)}\}$。若 $f$ 关于 $X^{(\mu)}$ 的广义随机积分 $\int_0^{\infty-} f(s)dX_s^{(\mu)}$ 可定义,则其分布记为 $\Phi_f(\mu)$。所有使得 $\Phi_f(\mu)$ 可定义的 $R^d$ 上的无穷可分分布 $\mu$ 之全体记为 $D(\Phi_f)$。我们研究了类 $D(\Phi_f)$、其两个扩张 $D_c(\Phi_f)$ 与 $D_e(\Phi_f)$(补偿的与本质的)以及其限制 $D^0(\Phi_f)$(绝对可定义的)。我们证明 $D_e(\Phi_f)$ 关于 $f$ 是单调的,即 $|f_2|\leq |f_1|$ 蕴含 $D_e(\Phi_{f_1})\subset D_e(\Phi_{f_2})$。进而,$D^0(\Phi_f)$ 关于 $f$ 单调,但 $D(\Phi_f)$ 与 $D_c(\Phi_f)$ 均不关于 $f$ 单调。此外,存在 $\mu$、$f_1$ 与 $f_2$ 使得 $0\leq f_2\leq f_1$、$\mu\in D(\Phi_{f_1})$ 且 $\mu\not\in D(\Phi_{f_2})$。此现象的一个显式例子与一类鞅 L\'evy 过程的某些性质相关。